Chương 1:  MỞ ÐẦU 
I. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Vật lí học cổ điển là phần vật lí không kể đến thuyết tương đối của Einstein và thuyết lượng tử của Planck, nó dựa trên hai hệ thống lí thuyết cơ bản là cơ học của Newton và thuyết điện từ của Maxwell.
Lí thuyết Newton là cơ sở cho cơ học và nhiệt học. Lí thuyết Maxwell là cơ sở cho điện từ học và quang học.
Vật lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm đối với các hiện tượng vật lí mà người ta đã biết đến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống lí thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ trong phạm vi ứng dụng cuả nó.
Nhưng cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta thấy có những hiện tượng vật lí không thể giải thích được bằng các lí thuyết của vật lí học cổ điển, như tính bền của nguyên tử, bức xạ của vật đen.v.v. và từ đó đã dẫn đên khái niệm mới - bước đầu của việc phát triển môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.
Cơ học lượng tử là lí thuyết của những hệ nguyên tử và hạt nhân, chúng có kích thước cỡ . Những hạt có kích thước như vậy được gọi là những hạt vi mô.
Ðối với các hạt vi mô, các quy luật của vật lí học cổ điển không áp dụng được nữa, khi nghiên cứu chúng ,ta phải thay các quy luật cổ điển bằng các quy luật lượng tử.Các quy luật lượng tử thì tổng quát hơn, nó bao gồm cả các quy luật cổ điển, coi các quy luật cổ điển chỉ là các trường hợp riêng mà thôi
II. TÍNH CHẤT HẠT CỦA BỨC XẠ:
Theo cổ điển thì các loại bức xạ như tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rontgen, tia gamma đều là sóng điện từ lan truyền trong không gian. Năng lượng của sóng thì tỉ lệ vơiï bình phương biên độ nên chúng có thể có giá trị biến đổi liên tục. Nghiã là một vật có thể phát ra hay thu vào (dưới dạng bức xạ) những lượng năng lượng tùy ý. Do đó giá trị năng lượng của một vật là tùy ý (các giá trị đó là lấp đầy trục số).
Quan niệm này không thể chấp nhận được trong vật lí hiện đại, nó không thể giải thích được một số hiện tượng vật lí mà ta đã gặp. Sau đây là một ví dụ.
1-     Bức xạ của vật đen:
           Thí nghiệm chứng tỏ rằng vật đen ở nhiệt độ T phát ra những bức xạ dưới dạng sóng điện từ có phổ liên tục từ .Khi năng lượng hấp thụ (từ các bức xạ khác chiếu tới) bằng năng lượng bức xạ thì nhiệt độ T của vật không đổi. Khi đó bức xạ của vật đen gọi là bức xạ cân bằng.
Xét bức xạ cân bằng của vật đen có tần số trong khoảng từ . Năng lượng của bức xạ này chứa trong một đơn vị thể tích của không gian thì tỉ lệ với và có biểu thức:                       
                                                                                                            
là mật độ năng lượng của phổ, là hàm số đặc trưng cho bức xạ cân bằng.
Từ vật lí cổ điển và vật lí thống kê, ta có công thức tính mật độ năng lượng của phổ là:
                               
Công thức này gọi là công thức Rayleigh.
Trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, K là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ, là tần số bức xạ. Công thức Rayleigh cho kết quả phù hợp với thực nghiệm khi nhỏ và T lớn. Còn khi lớn thì công thức dẫn đến điều phi lí.
Thật vậy. Khi lớn, tính năng lượng của bức xạ trong một đơn vị thể tích của không gian ta được:
              .                                 
   Khi đó toàn thế giới bị thiêu hủy. Hiện tương này gọi là tai biến vùng tử ngoại. Nhưng trong thực tế thế giới vẫn tồn tại, điều đó chứng tỏ không thể có tai biến vùng tử ngoại. Nghĩa là công thửc Rayleigh không thể chấp nhận được khi lớn. 
2-     Giả thuyết của Planck :
           Ðể giải quyết điều phi lý nói trên ( không có tai biến vùng tử ngoại ) năm 1900 Planck (người Ðức ) đã đề ra giả thuyết rằng :
Một dao động tử điều hoà có tần số riêng là chỉ có thể có những giá trị của năng lượng là gián đoạn và bằng một số nguyên lần một đại lượng (gọi là lượng tử) ứng với tần số góc và bằng :
                     

Từ giả thuyết của Planck và phương pháp thống kê ta có công thức cho mật độ năng lượng bức xạ là:
                        
Công thức này phù hợp với thực nghiệm khi cả nhỏ và lớn ,nó bao gồm cả công thức  Rayleigh .Thật vậy , khi lớn thì hàm mũ tăng nhanh hơn hàm lũy thừa nên vẫn hữu hạn.

3-Hiệu ứng quang điện-foton:
Ta hãy dùng giả thuyết Planck để giải thích hiệu ứng quang điện sau đây:
Sơ đồ thí nghiệm được bố trí như hình vẽ. Chiếu ánh sáng đơn sắc vào catot (K) thì có thể làm bật electron ra khỏi kim loại và có dòng điện trong mạch, đó là dòng quang điện.Thí nghiệm cho biết đối với một kim loại làm catot thì:

* Ðộng năng ban đầu của electron phát ra phụ thuộc tuyến tính
 vào tần số chứ không phụ thuộc vào cường độ của ánh
sáng.
* số electron phát ra phụ thuộc vào cường độ ánh sáng.                   
Hiện tượng trên gọi là hiệu ứng quang điện. Einstein đã dựa vào giả thuyết của Planck và giải thích mĩ mãn hiện tượng này như sau:
Ông cho rằng ánh sáng là một dòng hạt foton, mỗi hạt mang một năng lượng bằng lượng tử
* Nếu năng lượng của foton lớn hơn công thoát A để làm thoát electron ra khỏi kim loại thì có sự phát electron ra khỏi catot và có dòng quang điện chạy trong mạch. Ta có:
                                                                                   
 gọi là giới hạn quang điện (giới hạn đỏ) của kim loại làm catot.
* Mỗi foton chỉ tương tác với một electron và trao toàn bộ năng lượng của nó cho electron này. Một phần năng lượng này làm công thoát A, còn bao nhiêu làm động năng ban đầu cho electron. Suy ra:
                     .
Nghĩa là động năng phụ thuộc tuyến tính vào tần số của ánh sáng.
* Vì mỗi foton chỉ tác dụng với một electron nên khi cường độ ánh sáng tăng (mật độ hạt lớn) thì số electron bứt ra khỏi catot cũng tăng. Tức số electron bứt ra khỏi catot thì tỉ lệ với cường độ ánh sáng.
* Nếu thì không có electron bứt ra khỏi catot, vì , do đó không có dòng quang điện, dù cho cường độ ánh sáng có mạnh đến mấy đi nữa.
Vậy ta thừa nhận ánh sáng là một dòng hạt foton, mỗi foton mang năng lượng là và chuyển động với vận tốc 3.108m/s trong chân không.
Nếu ánh sáng là hạt foton thì foton cũng phải có xung lượng. Ta hãy tính xung lượng của foton. Theo Einstein thì mỗi hạt có năng lượng là:

              là xung lượng của foton.

Giả thuyết về foton giải thích được nhiều hiện tượng và được công nhận cho đến ngày nay.
III. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT  DE BROGLIE
Theo giả thuyết về foton thì sóng điện từ có tính chất hạt. Ta có thể xem vấn đề ngược lại rằng: các hạt vi mô (có khối lượng nghỉ khác không) có tính chất sóng được không?
Ðể giải quyết vấn đề này, năm 1924 De Broglie đã đưa ra giả thuyết rằng:
Hạt tự do có năng lượng sẽ tương đương với một sóng phẳng lan truyền trong không gian, có tần số . Trong đó    là hằng số Planck chung cho mọi hạt.
Giả thuyết này phù hợp với thực nghiệm và đã được hai nhà bác học người Mỹ (Davisson và Germer) kiểm chứng năm 1927. Hai ông đã tiến hành thí nghiệm cho hạt electron khuếch tán trên tinh thể mà trước đó đã tiến hành thí nghiệm đối với tia Rontgen (là sóng), thì kết qủa thu được cũng giống như kết qủa đối với tia Rontgen. Ðiều đó chứng tỏ rằng chùm electron (hơn nữa là từng electron) cũng có tính chất sóng như tia Rontgen.
Vậy cả sóng điện từ và hạt vi mô đều có tính chất sóng và tính chất hạt (gọi là lưỡng tính sóng- hạt). Quan niệm này trái với ý nghĩ thông thường của chúng ta trên các vật vĩ mô xung quanh. Muốn hiểu được thế giới vi mô, ta phải thay đổi những quan niệm cũ bằng các quan niệm mới hiện đại. cho dù nó có trái với ý nghĩ thông thường của ta đi nữa.
Ta chú ý rằng các hạt vi mô có tính chất hạt nên có các đặc trưng là năng lượng và xung lượng; đồng thời nó có tính chất sóng nên có các đặc trưng về sóng là tần số và vec tơ sóng. So với foton, nó cũng có các hệ thức tương tự như sau:
          Foton                                            Hạt vi mô
         e = pc                                         E2= p2c2 + mo2c4.
                                                 
IV. LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR:
Năm 1911,Rutherford đã chứng tỏ rằng nguyên tử gồm có hạt nhân tích điện dương, có kích thước nhỏ, ở giữa và xung quanh có các electron chuyển động.
Nếu áp dụng các định luật vật lí học cổ điển cho electron chuyển động xung quanh hạt nhân thì dẫn đến các kết qủa sau:
*Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân nên tương đương với
một dao động tử điều hòa với tần số dao động nên nguyên tử luôn luôn ở trạng thái bức xạ và tần số bức xạ có phổ liên tục
* vì nguyên tử bức xạ liên tục nên năng lượng giảm liên tục, bán kính qũy đạo của electron giảm liên tục và chỉ trong khoảng thời gian ngắn cỡ
Các kết quả này hoàn toàn mâu thuẫn với thực tế rằng:
* Bình thường thì nguyên tử không bức xạ. Nếu bị kích thích thì nguyên tử mới phát ra bức xạ có tần số xác định, tức phổ của bức xạ là gián đoạn chứ không phải liên tục (quang phổ bức xạ của nguyên tử là quang phổ vạch).
*Nguyên tử bền vững chứ không có hiện tượng electron rơi vào hạt nhân.
Ðể giải thích nguyên tử phát ra bức xạ có phổ gián đoạn và sự bền vững của nguyên tử, Bohr đã đưa ra giả thuyết rằng:
- Bình thường nguyên tử ở trạng thái dừng. Ở các trạng thái dừng nguyên tử có năng lượng xác định gián đoạn, electron chuyển động trên các quỹ đạo dừng xác định và không bức xạ.
- Khi nguyên tử bị kích thích, nó chuyển từ trạng thái dừng có năng lượng thấp sang trạng thái dừng có năng lượng cao hơn. Khi ngừng kích thích , nó chuyển ngay về trạng thái có năng lượng thấp hơn ( chẳng hạn), đồng thời phát ra một bức xạ có tần số xác định:
                                     .
Với giả thuyết này và kết hợp với cơ học cổ điển, áp dụng cho nguyên tử, người ta đã thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Người ta thừa nhận giả thuyết của Bohr và đó cũng là bước đầu dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu nguyên tử.    
V. HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT
Theo De Broglie thì hạt tự do có khối lượng nghỉ m, năng lượng E, xung lượng thì tương đương với một sóng phẳng có tần số    và vecto sóng . Sóng phẳng đó được biểu diễn bởi hàm phức (gọi là hàm sóng)như sau:
                                                                      (1.3).
Hàm sóng viết như (1.3) là phụ thuộc cả không gian và thời gian,  là vecto tia xác định vị trí của điểm nào đó trong không gian mà sóng có thể truyền tới (hạt có thể tới), còn là một hằng tùy ý.
Hàm sóng thường được tách ra hai phần:

là phần phụ thuộc không gian
và                                                
là phần phụ thuộc thời gian.
Lưu ý ta kí hiệu biến là thay cho các biến (x,y,z) cho gọn.
Theo cách giải thích của Born thì bình phương mô đun của hàm sóng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm thấy hạt ở điểm xác định bởi (điểm đang xét).
GọiĠ là mật độ xác suất tìm thấy hạt có tọa độ thì:  

            Gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV thì
:
            Trong đó dV = dx.dy.dz
            Cách giải thích của Born được thừa nhận vì không chứa mâu thuẫn.
  VI SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG
            Ta đã biết hàm sóng có dạng:
                                                                                                      
Trong đó hằng số không phản ánh tính chất gì của hạt,nên đối với một hàm sóng ta có thể nhân thêm một hằng số bất kì mà chẳng ảnh hưởng gì đến trạng thái của hạt.Nghĩa là chúng cùng biểu diễn một trạng thái.Ta thừa nhận điều này như một tiên đề.
            Ở trên ta đã có:.Ta có thể chọn hằng số cho phù hợp để khi nhân vào . Hàm được gọi là hàm đã chuẩn hóa, nó phải thỏa mãn điều kiện sau:
                       
Gọi là điều kiện chuẩn hóa.
Từ điều kiện chuẩn hóa ta suy ra:
                       
Là công thức dùng để tính hệ số chuẩn hóa
            Ta chú ý rằng nếu thề tích co về chiều dài (x chẳng hạn) thì tích phân sẽ tính theo x.
             

---

                                 BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1-1.          Electron phải có vận tốc bằng bao nhiêu để có xung lượng giống như foton có bước sóng ?
Bài 1-2.          Tính bước sóng De Broglie của electron và của proton khi chúng chuyển động với vận tốc
Bài 1-3.          Electron chuyển động với vận tốc . Tính bước sóng De Broglie của electron
Bài 1-4.          Electron có vận tốc ban đầu bằng không, được gia tốc qua điện trường có hiệu điện thế U. Xác định bước sóng De Broglie của electon sau khi được gia tốc qua các hiệu điện thế:
Bài 1-5.          Electron không có vận tốc ban đầu được gia tốc qua điện trường có hiệu điện thế U thì chuyển động ứng với bước sóng De Broglie       . Tính U.
Bài 1-6.          Hạt chuyển động trên trục ox, hàm sóng mô tả trạng thái chưa chuẩn hóa là:
                       
             1/  Hãy chuẩn hóa hàm sóng này.
             2/  Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng từ - a đến + a trên trục ox.
Cho :

Bài 1-7.          Hàm sóng mô tả trạng thái của hạt phụ thuộc vào tọa độ trong tọa độ cầu là trong đó m = 0, 1, 2, 3 ...
               1/  Chuẩn hóa hàm sóng này.
               2/  Xét sự phân bố hạt theo góc và từ đó tính xác suất tìm thấy hạt trong không gian có tọa độ = 0 đến.
Bài 1-8.          Hạt chuyển động trên trục ox trong khoảng từ -a đến +a, trạng thái được mô tả bởi hàm sóng:   với n là số nguyên dương.
               1/  Chuẩn hóa hàm sóng.
               2/  Cho n = 1. Khảo sát sự phân bố hạt theo tọa độ x.
              

Chương 2: TOÁN TỬ.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH:
1)     Ðịnh nghĩa: 
Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho ta một hàm số khác.
Nghĩa là ta có:  
            Trong đó là một toán tử; là các hàm số bất kì với (x) là một tập hợp tọa độ nào đó chứ không phải chỉ riêng tọa độ x.
2)     Các thí dụ:

3)     Toán tử tuyến tính.

II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ
           
Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được, còn tích hai toán tử nói chung không giao hoán được, khi viết tích hai toán tử ta phải giữ nguyên thứ tự của chúng.


III. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
Nói chung khi cho toán tử   tác dụng lên hàm  thì ta được hàm số.(Với (x) là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là:
                                    
Khi đó ta nóilà hàm riêng của toán tử Â và phương trình trên gọi là phương trình trị riêng của toán tửĠ. Còn a  được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng của toán tử Â.
Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tương ứng với một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:
                              .

Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của toán tử đó.
Thí dụ :
Cho toán tử
Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Â biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng (o,L).

(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rườm rà)
                                 .                        
Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có . Tức là:
                               .
          
            IV. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TOÁN TỬ HECMIT):
1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit:
Cho toán tử Â và các hàm số bất kì . Nếu hệ thức sau được thỏa mãn :
.
thì Â được gọi là toán tử hecmit ( hay toán tử tự liên hiệp tuyến tính):
Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mô tả một trạng thái vật lí nên nó bằng không khi tọa độ bằng vô cùng,ta dễ dàng chứng minh được toán tử     là toán tử hecmit, còn toán tử không phải là hecmit. 
2- Các tính chất của toán tử hecmit:
a/  Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực.

b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.
Trước hết ta định nghĩa sự trực giao như sau:
Nếu có hệ các hàm . (n =1; 2; 3...)

Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng
Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau. Muốn vậy ta hãy chọn . Khi đó biểu  thức định nghĩa là:
                      .
vì các hàm là các hàm riêng của toán tử  Â nên phương trình trên trở thành:        
                   .
Nói chung
Tức là các hàm trực giao với nhau.
Nếu các hàm riêng được chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực chuẩn như sau:

c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.
Tính chất này có nội dung như sau:
Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng của toán tử hecmit thì ta có thể phân tích f(x) thành:
                       
Ta thừa nhận tính chất này ,mà không cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC
Một toán tử có các trị riêng là liên tục thì được gọi là toán tử có phổ liên tục. Ðối với toán tử có phổ liên tục thì phương trình trị riêng được viết:
                                 
Ðể phân biệt với toán tử có phổ gián đoạn.
Trong phương trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm chỉ số chạy. Như vậy a là thông số biến đổi liên tục chứ không phải là các số nguyên. Ðối với toán tử có phổ liên tục, các tính chất vẫn như toán tử có phổ gián đoạn. Tức là:
- Trị riêng là những số thực.
- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ.
- Các hàm riêng trực giao với nhau.
Nhưng điều kiện chuẩn hóa lại khác. Khi đó ta có:
                                 
khi tọa độ tiến tới vô cực.

 
Với gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi quy tắc tích phân.
Ví dụ hàm đenta đối số x là:
                              .
Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c.
Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng của toán tử có phổ liên tục thì ta phải dùng công thức:
                                                                                              
 thay cho công thức:  
trong trường hợp toán tử có phổ gián đoạn.
                  
BÀI TẬP CHƯƠNG 2